1-2+3-4+5-6+7-8..... 의 값은 무엇일까 ?1-2+3-4+5-6+7-8..... 의 값은 무엇일까 ?

Posted at 2012. 3. 4. 21:13 | Posted in 개인 공부
중학교 수준정도 되면 1+2+3+4+....+98+99+100 답을 구하는 방법은 멍청하게 1부터 하나하나 더하지 않고도 초딩시절 가우스가 발견한 법칙으로 5050라는 답을 쉽게 도출할수 있을 것이다. 이런 면에서 가우스는 정말 대단한 수학자였던거 같다.

그렇다면  

이런 식의 값은 얼마일까?
참 간단할꺼 같으면서도 자세히 살펴보면 어려운 문제다.  

(1-2)+(3-4)+(5-6)+...... = -1-1-1-1-1...... = -∞ 이란 답이 나와 '존나 쉽네'라고 생각한 바보도 있을테고 조금만 더 생각하여 
1+(-2+3)+(-4+5)+...... = 1+1+1+1+1...... =  ∞ 이란 답을 하나 더 생각하여 모순을 이끌어내는 사람도 있을 것이다.

※ 스크롤을 조금만 더 내리면 답이 보이므로 한 번 생각해보고 도저히 생각이 안날때 내려보길 권합니다. 넌센스 아님.

( 이미지 출처 : 위키백과 )

1-2+3-4+5-6+7-8...... 의 답은 뭘까 ? 사실 나도 풀려고 며칠동안 겁나게 노력했었는데 도저히 안풀려 검색에 검색을 통해 해답이 적혀져 있는 외국사이트를 찾았다. 그것도 여러가지 풀이 방법으로. 근데 대한민국에서 수학 고1과정까지 배운 것 외에 다른 수학 지식이 없는 나로써는 알수 있는 풀이법이 딱 하나 !, 하나밖에 없었다. 올해 시그마까지 배우면 3개정도. 
1-2+3-4+5-6+7-8...... 의 답을 고 1 수준의 풀이방법은 이렇다. ( 선행학습 없이 수학을 배웠다면 중1까지 무리없이 이해가능 )
 
------------풀이--------------

x = 1-2+3-4+5-6+7-8...... 로 둔다.

4x = (1-2+3-4+5-6+7-8......) + (1-2+3-4+5-6+7-8......) + (1-2+3-4+5-6+7-8......) + (1-2+3-4+5-6+7-8...... )
    = (1-2+3-4+5-6+7-8......) + 1+(-2+3-4+5-6+7-8......) + 1+(-2+3-4+5-6+7-8......) -1+(3-4+5-6+7-8...... )
    = 1 + { (1-2-2+3) + (-2+3+3-4) + (3-4-4+5) + (-4+5+5-6) + ...... }
    = 1 + {  0+0+0+0 + ...... }
    = 1



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( 이미지 출처 : 위키백과 )

정수의 덧셈뺄셈 1-2+3-4+5-6+7-8...... 의 해가 분수가 나온다는 점에서 혼란이 왔고 더군다나 위의 식에서 잘못된 점을 못찾겠다는 것에서 수학의 아름다움에 한번 더 매료된 느낌을 받았다. 저런 식을 어떻게 유도할수 있었을까. 이 외에도 Cauchy product, Cesàro and Hölder,  Abel summation, Euler and Borel 증명 방법이 있다. 다른 풀이는 여기를 클릭하여 볼수 있다.


오류

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