임의의 양의 정수 n에 대하여.

문제 : 임의의 양의 정수 n에 대해 항상 

 의 약수가 되는 가장 큰 정수를 구하여라.

(문제 출처 : 1989년 뉴욕주 수학리그)

7:24

풀이시작. 첫 번째로 든 생각. 인수분해

 이고 인수중 n이 있고
n은 양의 정수이므로 항상 

의 약수이다.

따라서 답은 무한대. 그럼 문제 낼리가 없다.


7:33

문제 다시 제대로 이해.. 

 다시 인수분해.


7:41

더 이상 진전없어서 대입

n에
1대입 값 0 
2대입 값 0
3대입 값 2223335
4대입 값 22222222335
5대입 값 222335557 

최대 정수는 

.

7:45

 를 소인수분해 하였을때 2와 3의 제곱승이 최소 몇인가 고민.

7:45

i) 인수 2의 제곱승이 최소일 경우 

nnn(n+1)(n-1)(n+2)(n-2) 는 연속된 5자리 수이기 때문에 적어도 n은 짝수는 아니다.
따라서 n은 홀수이고 또 n+1,n-1를 소인수분해 하였을때 2의 제곱승이 제일 낮은 경우가 x의 값이다.

그런데 n은 홀수이고  n+1,n-1은 무조건 소인수 2를 갖는다.
따라서 2로 나눠도 정수이고  

는 연속된 자연수다.
또한 연속된 자연수는 적어도 하난 2의 배수이므로 2의 최소 제곱승은 3이다. x=3

ii) 3인수 제곱승의 최소일 경우

(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)는 연속된 5개의 자연수이므로 최소는 n이 3의 배수일경우이지만 nnn이므로 n-2이나 n-1이 3의 배수일 경우 최소의 제곱수 2를 갖는다. y=2

7:53

따라서 답은 

 = 360

해결 시간 29분.

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해설 

nn(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) 처럼 인수분해 한다. 여기서 x개의 연속한 자연수의 곱은 x!의 배수이다. 
여기서 n=3,4 대입해보면 9*5!, 16*6*5! 인데 여기서 공통인수 3*5!를 약수로 추측할수 있다.

n=3k라고 하면 n*n*(5!의 배수) 로 표현 가능하고,
n=3k 아니라면 적어도 2개는 3의 배수이므로 9의 배수이므로 즉 3*5!를 약수로 갖는다.

그렇다면 3*5!보다 큰 수를 약수로 갖는다면 k*3*5!로 표현가능한데,
n=3,4 를 대입하였을때 k는 32와 3의 공통인 약수를 갖아야 한다는 점에서 모순이다.

따라서 답은 3*5! = 360

(해설 출처 : http://www.msquare.or.kr/ )

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블로그 유지를 위해 오늘부터 대부분 중학교 심화 문제 수준의 수학문제를 떡 하나 던져놓고 푸는 과정과 걸린 시간을 적어봄.
해설처럼 간결하게 쓰고 싶었으나 'x개의 연속한 자연수의 곱은 x!의 배수이다.' 라는 것을 처음 알게 됨.
또 문제를 다시 이해하는데까지 9분이란 시간을 놓친 것 보면 수학풀때에는 국어 능력도 필요하다는 것을 새삼 느낌.
또 쓰면서 논리정연하게 정리하려니까 어렵고, 시간도 꽤 흐르네요.