연립방정식을 만족하는 모든 실수해 x,y,z,a를 구해라

(1977년 미국 Putnam 경시대회) 다음 연립방정식을 만족하는 모든 실수해 x,y,z,a를 구하여라.

조건 : 

2012/03/20

10 : 59 

풀이 시작

시도 1. x+y+z-a+1/x+1/y+1/z-1/a=0

망함

11 : 03

시도 2. 

조건 2 통분 axy+ayz+azx=xyz

망함

12 : 37

이리저리 해도 안됨.

2012/03/21

학교에서 쉬는 시간 틈틈히 2시간 정도 함.

시도 3.

제곱한다. x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) = a^2 / 조건 2도 제곱.

안됨.

2012/03/22

1시간 정도 함 

안됨.

2012/03/23

결국 답지를 폄.

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해설

 일 때,

x,y,z 는 

 의 해이다. 이는 비에타의 정리(=근과 계수와의 관계)에 의해 알 수 있다.

인수분해 하면 

 이고 적어도 따라서 근 중 하나는 a 여야 한다.
또 나머지 두 근의 합은 0인 관계임을 알 수 있다.

따라서 실수 해 x,y,z,a 는 (a,b,-b,a), (b,a,-b,a), (b,-b,a,a) 이다. ( a,b는 임의의 0이 아닌 실수 )

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비에타의 정리라는 생소한 말 때문에 3일에 걸쳐 못푼 문제가 그럼 그렇지 ! 내 수준으론 쉽게 풀수 없었던 문제였다고 생각했는데, 비에타의 정리가 근과 계수와의 관계 라더라. 근과 계수와의 관계를 본 순간 비로소 문제를 어떻게 해결해야 할지 감이 왔고 또 왜 근과 계수와의 관계를 생각하지 못했었을까 뭔가 강한 아쉬움이 들었다. 답지를 보니 정말 허무하다.